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Números p-ádicos: Um universo de infinitos sistemas de números

Ana Paula Chaves — Mon, 23 Nov 2020 11:57:14 -0300

No coração da Teoria dos Números da atualidade, os números p-ádicos nos proporcionam uma coletânea de infinitos sistemas de números, baseados em primos. Neste artigo, com tradução livre a partir de matéria na Quanta Magazine, referenciada ao final do texto, o leitor irá encontrar uma introdução bastante intuitiva à esses "tipos" de números.

Os números racionais são os números mais "familiares": 1, -5, ½ e todos os outros valores que podem ser escritos como uma proporção de números inteiros positivos ou negativos. Mas ainda pode ser difícil trabalhar com eles.

O problema é que eles contêm "buracos". Se você aumentar o zoom em uma sequência de números racionais, poderá se aproximar de um número que em si não é racional. Isso causa um "curto-circuito" em muitas ferramentas matemáticas básicas, como a maioria do cálculo. Os matemáticos geralmente resolvem esse problema organizando os racionais em uma linha e preenchendo as lacunas com números irracionais para criar um sistema numérico completo que chamamos de números reais.

Mas existem outras maneiras de organizar os racionais e preencher as lacunas: os números p-ádicos. Eles são uma coleção infinita de sistemas numéricos alternativos, cada um associado a um número primo único: os 2-ádicos, 3-ádicos, 5-ádicos e assim por diante. Os p-ádicos podem parecer bastante "estranhos". Nos 3-ádicos, por exemplo, o número 82 está muito mais próximo de 1 do que de 81. Mas a estranheza é amplamente superficial: em um nível estrutural, os p-ádicos seguem todas as regras que os matemáticos desejam em um sistema numérico bem comportado.

Desenvolvidos há mais de um século, os números p-ádicos tornaram-se um ambiente essencial para investigar questões sobre números racionais que datam de milênios.

Leia a matéria completa da Quanta em inglês em: https://www.quantamagazine.org/how-the-towering-p-adic-numbers-work-20201019/

Novo Resultado Estabelece Como Aproximar Números Como Pi

Ana Paula Chaves — Sat, 07 Sep 2019 13:17:10 -0300

Os gregos antigos se perguntavam quando números "irracionais" podem ser aproximados por frações. Ao provar a duradoura conjectura de Duffin-Schaeffer, dois matemáticos forneceram uma resposta completa.

Os recessos profundos da linha numérica não são tão proibitivos quanto parecem. Essa é uma consequência de uma nova prova importante sobre como números complicados resultam em aproximações simples.

A prova resolve um problema de quase 80 anos conhecido como conjectura de Duffin-Schaeffer. Ao fazê-lo, fornece uma resposta final para uma pergunta que preocupa os matemáticos desde os tempos antigos: sob que circunstâncias é possível representar números irracionais que duram para sempre - como pi - com frações simples, como 227? A prova estabelece que a resposta a essa pergunta muito geral se baseia no resultado de um único cálculo.

"Existe um critério simples para saber se você pode aproximar praticamente todos os números ou praticamente nenhum número", disse James Maynard, da Universidade de Oxford, co-autor da prova com Dimitris Koukoulopoulos, da Universidade de Montreal.

Os matemáticos suspeitavam há décadas que esse critério simples era a chave para entender quando boas aproximações estão disponíveis, mas eles nunca foram capazes de prová-lo. Koukoulopoulos e Maynard conseguiram fazê-lo somente depois de reimaginarem esse problema sobre números em termos de conexões entre pontos e linhas em um gráfico - uma dramática mudança de perspectiva.

"Eles tinham o que eu diria que era muita autoconfiança, o que obviamente era justificado, para seguir o caminho que eles seguiram", disse Jeffrey Vaaler, da Universidade do Texas, Austin, que contribuiu com resultados importantes antes. Conjectura de Duffin-Schaeffer. "É um belo trabalho."

Leia a matéria completa, em inglês, no site da Quanta: https://www.quantamagazine.org/new-proof-settles-how-to-approximate-numbers-like-pi-20190814/

Por que a prova do último teorema de Fermat não precisa ser aprimorada

Ana Paula Chaves — Tue, 04 Jun 2019 10:42:19 -0300

Décadas após a prova histórica do Último Teorema de Fermat, há muitas ideias para torná-la ainda mais "confiável". Tais esforços refletem um profundo mal-entendido sobre o que torna a prova tão importante.

Em 23 de junho do ano passado, marcou o 25º aniversário do eletrizante anúncio de Andrew Wiles que ele havia provado o Último Teorema de Fermat, resolvendo um problema de 350 anos, o mais famoso em matemática. A tradição em torno da prova de Wiles - os sete anos em que ele trabalhou sobre o problema em segredo, a lacuna na prova que apareceu poucos meses depois do anúncio de junho, a elegante solução um ano depois em um artigo em conjunto escrito por Wiles com seu ex-aluno Richard Taylor e sua cavalaria em 2000 - entrou nos anais da lenda matemática.

Após o avanço de Wiles, tornou-se comum ouvir falar de uma nova "idade de ouro" da matemática, especialmente na Teoria dos Números, o campo ao qual o problema de Fermat pertence. Os métodos introduzidos por Wiles e Taylor são agora parte do conjunto de ferramentas dos teóricos dos números, que consideram a história do UTF encerrada. Mas os teóricos dos números não foram os únicos extasiados por essa história.

Lembrei-me disso inesperadamente em 2017, quando, no espaço de poucos dias, dois lógicos, falando em dois continentes, aludiram a formas de reforçar a prova do UTF - e relataram como alguns dos seus colegas ficaram surpreendidos com o facto de os teóricos dos números não terem mostrado interesse em suas idéias.

Os lógicos falavam as línguas de suas respectivas especialidades - teoria dos conjuntos e ciência da computação teórica - na expressão dessas idéias. As sugestões que eles fizeram foram intrinsecamente válidas e podem algum dia dar origem a novas perguntas não menos interessantes que as de Fermat. No entanto, ficou imediatamente claro para mim que essas questões são em grande parte irrelevantes para os teóricos dos números, e qualquer sugestão de que possa ser de outra forma reflete uma profunda incompreensão da natureza da prova de Wiles e dos objetivos da teoria dos números como um todo.

As raízes desse equívoco podem ser encontradas na simplicidade da declaração do UTF, que é responsável por grande parte do seu apelo: Se n é um número inteiro positivo maior que 2, então é impossível encontrar três números positivos a, b e c tais que aⁿ + bⁿ = cⁿ

Isso contrasta nitidamente com o que acontece quando n é igual a 2: todos que estudaram geometria euclidiana lembrarão que 3² + 4² = 5², que 5² + 12² = 13² e assim por diante (a lista é infinita). Nos últimos séculos, os matemáticos repetidamente tentaram explicar esse contraste, fracassando a cada vez, mas deixando ramos inteiros da matemática em seu rastro. Esses ramos incluem grandes áreas da Teoria dos Números moderna que Wiles utilizou para sua solução bem-sucedida, bem como muitas das ideias fundamentais em todas as partes da ciência tocadas pela matemática. No entanto, ninguém antes de Wiles conseguiu fundamentar a reivindicação original de Fermat.

O cientista da computação tinha estado recentemente animado para aprender sobre o progresso na verificação automatizada de provas, uma tentativa ambiciosa de implementar a abordagem formalista da matemática na prática. Para os formalistas, uma prova matemática é uma lista de declarações que atendem a requisitos estritos:

As declarações no topo da lista devem envolver apenas noções que são universalmente aceitas. Na interpretação mais estrita, estes são limitados aos axiomas da teoria formal dos conjuntos, tipicamente o sistema formal conhecido como ZFC - abreviação de “Zermelo-Fraenkel, mais escolha”. Isto é totalmente impraticável, então também podemos incluir teoremas que têm já foi provado - por exemplo, UTF para n = 4, que o próprio Fermat já provou no século XVII.
Cada declaração deve ser obtida aplicando as regras de dedução lógica às declarações precedentes.
Finalmente, o teorema comprovado deve aparecer como a última declaração da lista.

A lógica matemática foi desenvolvida com a esperança de colocar a matemática em alicerces firmes - como um sistema axiomático, livre de contradições, que poderia impedir que o raciocínio caísse em incoerência. Embora o trabalho de Kurt Gödel tenha revelado que essa esperança é quimérica, muitos filósofos da matemática, bem como alguns lógicos (uma minoria pequena, mas vocal), ainda consideram o ZFC e os requisitos listados acima como um tipo de constituição para a matemática.

Leia a matéria na íntegra no link: https://www.quantamagazine.org/why-the-proof-of-fermats-last-theorem-doesnt-need-to-be-enhanced-20190603/

Matemáticos descobrem o método perfeito para multiplicar números grandes

Ana Paula Chaves — Tue, 21 May 2019 16:33:24 -0300

Ao dividir números grandes em números menores, os pesquisadores reescreveram um limite fundamental de velocidade matemática.

Quatro mil anos atrás, os babilônios inventaram a multiplicação. Este ano, os matemáticos aperfeiçoaram-no.

Em 18 de março, dois pesquisadores descreveram o método mais rápido já descoberto para multiplicar dois números muito grandes. O documento marca a culminação de uma longa pesquisa para encontrar o procedimento mais eficiente para realizar uma das operações mais básicas em matemática.

"Todo mundo pensa basicamente que o método que você aprende na escola é o melhor, mas na verdade é uma área ativa de pesquisa", disse Joris van der Hoeven, matemático do Centro Nacional Francês de Pesquisa Científica e um dos co-autores. .

A complexidade de muitos problemas computacionais, desde calcular novos dígitos de pi até encontrar grandes números primos, se resume à velocidade de multiplicação. Van der Hoeven descreve seu resultado como uma espécie de limite matemático de velocidade para a rapidez com que muitos outros tipos de problemas podem ser resolvidos.

"Na física, você tem constantes importantes, como a velocidade da luz, que permitem descrever todos os tipos de fenômenos", disse van der Hoeven. “Se você quiser saber com que velocidade os computadores podem resolver certos problemas matemáticos, a multiplicação de números inteiros aparece como um tipo de tijolo básico de construção em relação ao qual você pode expressar esse tipo de velocidade.”

A maioria das pessoas aprende a multiplicar-se da mesma maneira. Nós empilhar dois números, multiplicar cada dígito no número inferior por cada dígito no número superior e fazer adição no final. Se você está multiplicando dois números de dois dígitos, acaba realizando quatro multiplicações menores para produzir um produto final.

A escola primária ou o método de "transporte" exige cerca de n² etapas, em que n é o número de dígitos de cada um dos números que você está multiplicando. Portanto, números de três dígitos exigem nove multiplicações, enquanto números de 100 dígitos exigem 10.000 multiplicações.

O método de transporte funciona bem para números com apenas alguns dígitos, mas é difícil quando estamos multiplicando números com milhões ou bilhões de dígitos (que é o que os computadores fazem para calcular com precisão pi ou como parte da pesquisa mundial de primos grandes) . Para multiplicar dois números com 1 bilhão de dígitos, é necessário 1 bilhão de quadrados, ou 1018 multiplicações, o que levaria um computador moderno por volta dos 30 anos.

Durante milênios, foi amplamente assumido que não havia maneira mais rápida de se multiplicar. Então, em 1960, o matemático russo Anatoly Karatsuba, de 23 anos de idade, realizou um seminário liderado por Andrey Kolmogorov, um dos grandes matemáticos do século XX. Kolmogorov afirmou que não havia procedimento geral para fazer multiplicação que exigisse menos de n² etapas. Karatsuba pensou que havia - e depois de uma semana de busca, ele encontrou.

O método de Karatsuba envolve dividir os dígitos de um número e recombiná-los de uma maneira inovadora que permite substituir um pequeno número de adições e subtrações por um grande número de multiplicações. O método economiza tempo porque a adição leva apenas 2n etapas, ao contrário das n² etapas.

Leia a matéria completa, em inglês, aqui: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-discover-the-perfect-way-to-multiply-20190411/

Brasil conquista ouro inédito na EGMO

Ana Paula Chaves — Fri, 12 Apr 2019 14:42:39 -0300

A equipe brasileira na 8ª European Girls’ Mathematical Olympiad (EGMO) retorna ao país este fim de semana com um ouro inédito. O grupo conquistou também dois bronzes na olimpíada, iniciada no último domingo, em Kiev, Ucrânia. A trajetória do Brasil em três anos de participação na competição soma agora dez premiações – 9 medalhas e uma menção honrosa.

Formada por Ana Beatriz Cavalcante Pires de Castro Studart, 17, de Fortaleza (CE); Bruna Arisa Shoji Nakamura, 16, de Indaiatuba (SP); Mariana Bigolin Groff, 17, de Frederico Westphalen (RS); e Maria Clara de Lacerda Werneck, 17, do Rio de Janeiro (RJ), a equipe do Brasil ficou em 20º lugar no ranking desta edição da EGMO, que reuniu representantes de 49 países. O time foi liderado por Deborah Barbosa Alves, de São Paulo (SP), e vice-liderado por Luize Mello D’ Urso Vianna, do Rio de Janeiro (RJ).

A medalha de ouro foi conquistada por Mariana, que marcou 31 dos 42 pontos possíveis e ficou na 14ª colocação entre as 196 competidoras da EGMO. Veterana na competição, ela integra o time do Brasil desde 2017, quando o IMPA passou a financiar a participação do país nesta olimpíada. Este ano, a ida da equipe foi bancada pelo instituto, pela Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) e pelas escolas das estudantes.

Ganhadora contumaz de medalhas em competições nacionais e internacionais de conhecimento, especialmente Matemática – foi seis vezes premiada na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) -, a gaúcha tem uma trajetória ascendente na EGMO. Começou em 2017, com um bronze, quando ficou na 62ª colocação; depois ganhou prata (35ª colocação) e, este ano, trouxe o ouro inédito.

A cearense Ana Beatriz também é veterana na competição. Participou pela primeira vez no ano passado e trouxe uma prata. Agora, conquistou um bronze, assim como a carioca Maria Clara, estreante na EGMO.

Diretor-geral do IMPA, Marcelo Viana comemorou o resultado: “O IMPA vem priorizando a participação do Brasil desde 2017, e os resultados alcançados pelas meninas são uma enorme alegria para nós. Todas estão de parabéns, especialmente a Mariana por trazer este ouro inédito para o Brasil.”

Problema da soma de três cubos resolvido para o "teimoso" número 33

Ana Paula Chaves — Wed, 27 Mar 2019 12:30:21 -0300

Um teórico de números, prodígio da programação, encontrou uma solução para 33 = x³ + y³ + z³, uma equação muito estudada que ficou sem solução por 64 anos.

Os matemáticos sempre se perguntaram se é possível expressar o número 33 como a soma de três cubos - ou seja, se a equação 33 = x³ + y³ + z³ tem uma solução. Eles sabiam que 29 poderia ser escrito como 3³ + 1³ + 1³, por exemplo, enquanto 32 não pode ser escrito como a soma de três inteiros cada um elevado à terceira potência. Mas o caso 33 ficou sem solução por 64 anos.

Agora, Andrew Booker, um matemático da Universidade de Bristol, finalmente resolveu: Ele descobriu que (8.866.128.975.287.528) ³ + (–8.778.405.442.862.239) ³ + (–2.736.111.468.807.040) ³ = 33.

Booker encontrou este estranho trio de inteiros de 16 dígitos, inventando um novo algoritmo de busca para separá-los de quatrilhões de possibilidades. O algoritmo foi executado em um supercomputador da universidade por três semanas seguidas. (Ele diz que acha que levaria seis meses, mas uma solução "apareceu antes que eu esperasse".) Quando a notícia de sua solução chegou à Internet no início deste mês, os teóricos dos números e os entusiastas da matemática estavam cheios de entusiasmo. De acordo com um vídeo Numberphile sobre a descoberta, o próprio Booker literalmente pulou de alegria em seu escritório quando descobriu.

Por que essa alegria? Parte disso é a simples dificuldade de encontrar tal solução. Desde 1955, os matemáticos usaram os computadores mais poderosos que podem obter para pesquisar a reta numérica por trios de inteiros que satisfazem a equação “soma de três cubos” k = x³ + y³ + z³, onde k é um número inteiro. Às vezes as soluções são fáceis, como acontece com k = 29; outras vezes, sabe-se que uma solução não existe, como acontece com todos os números inteiros que deixam para trás um resto de 4 ou 5 quando dividido por 9, como o número 32.

Mas, geralmente, as soluções são “não triviais”. Nesses casos, o trio de inteiros em cubos - como (114.844.365) ³ + (110.902.301) ³ + (–142.254.840) ³, que equivale a 26 - parece mais um bilhete de loteria do que qualquer coisa previsível. estrutura. Por ora, a única maneira de os teóricos de números descobrirem essas soluções é jogar a “loteria” matemática repetidas vezes, usando a força bruta da pesquisa assistida por computador para experimentar diferentes combinações de inteiros em cubos e esperar por uma “vitória”.

Mas mesmo com computadores cada vez mais poderosos e algoritmos mais eficientes lançados contra o problema, alguns números inteiros recusaram-se obstinadamente a obter ingressos vencedores. E 33 foi um caso especialmente teimoso: até que Booker encontrou sua solução, era um dos dois inteiros restantes abaixo de 100 (excluindo aqueles para os quais as soluções definitivamente não existem) que ainda não podiam ser expressos como uma soma de três cubos. . Com 33 fora do caminho, o único remanescente é 42.

A razão pela qual demorou tanto tempo para encontrar uma solução para 33 é que pesquisar o suficiente até a linha numérica - até 1016, ou dez quadrilhões, e até os inteiros negativos - para o trio numérico correto era computacionalmente impraticável, até que Booker inventou seu algoritmo. "Ele não apenas executou essa coisa em um computador maior em comparação com os computadores de 10 anos atrás - ele encontrou uma maneira genuinamente mais eficiente de localizar as soluções", disse Tim Browning, um teórico de números do Instituto de Ciência e Tecnologia da Áustria.

Algoritmos anteriores "não sabiam o que estavam procurando", explicou Booker; eles poderiam pesquisar eficientemente um dado intervalo de inteiros para soluções para k = x³ + y³ + z³ para qualquer número inteiro k, mas eles não eram capazes de mirar em um específico, como k = 33. O algoritmo de Booker poderia, e assim funciona “Talvez 20 vezes mais rápido, em termos práticos”, ele disse, do que algoritmos que adotam uma abordagem não direcionada.

Leia a matéria completa no link abaixo.

No universo das equações, praticamente todas são "primas"

Ana Paula Chaves — Mon, 11 Feb 2019 10:24:34 -0200

Equações, como números, nem sempre podem ser divididas em elementos mais simples. Pesquisadores já provaram que tais equações “primas” se tornam onipresentes à medida que as equações se tornam "maiores".

Os números primos recebem todo o "amor". Eles são as estrelas de inúmeras histórias populares e aparecem nos mais célebres problemas em aberto da matemática. Mas há outro fenômeno matemático que é quase tão fundamental quanto, mas recebe muito menos atenção: equações primas.

Estas são equações - em particular, equações polinomiais - que não podem ser divididas por outras equações. Como números primos, eles estão no coração de uma ampla gama de áreas de pesquisa em matemática. Para muitos problemas específicos, se você puder entender algo sobre as principais equações, descobrirá que respondeu à pergunta que realmente resolveu resolver.

"Quando temos uma pergunta, podemos reduzi-la a algum conhecimento sobre números primos", disse Lior Bary-Soroker, da Universidade de Tel Aviv. "Exatamente a mesma coisa acontece com polinômios."

Assim como nos números primos, a coisa mais básica a se saber sobre as equações primas é: com que frequência elas ocorrem? No último ano, os matemáticos fizeram progressos consideráveis na resposta a essa questão. Em um artigo publicado no final de outubro, Emmanuel Breuillard e Péter Varjú, da Universidade de Cambridge, provaram que virtualmente todas as equações de um certo tipo são primas.

Isso significa que, ao contrário dos números primos, que são escassos, as equações primas são abundantes. O novo artigo resolve uma conjectura de 25 anos e tem implicações em todos os lugares, desde a criptografia on-line até a matemática da aleatoriedade.

Para conferir a matéria da Quanta na íntegra, acesse:
https://www.quantamagazine.org/in-the-universe-of-equations-virtually-all-are-prime-20181210/

Um Movimento para acabar com a disparidade entre gêneros na Matemática

Ana Paula Chaves — Fri, 25 Jan 2019 10:41:18 -0200

Carolina Araújo (IMPA), falou à Quanta Magazine sobre sua jornada como uma das líderes no movimento mundial de mulheres na matemática.

Entrevista completa:

https://www.quantamagazine.org/carolina-araujo-is-building-a-network-of-women-in-mathematics-20190122/

Sir Michael Atiyah, ganhador da Medalha Fields e Prêmio Abel, falece aos 89 anos

Ana Paula Chaves — Wed, 16 Jan 2019 23:29:22 -0200

Matemático, que deu grandes contribuições para a Geometria e Topologia, faleceu na última sexta-feira (11 de janeiro de 2019).

Sir Michael Atiyah, a former Professor and Member at the Institute for Advanced Study, passed away on the morning of January 11, at the age of 89. As one of the world’s most revered mathematicians, Atiyah produced work that has served as an inspiration to scholars around the globe, from his first major contribution—topological K-theory—to advances in quantum field theory.

Atiyah was the recipient of a Fields Medal, the Abel Prize, and the American Philosophical Society’s Benjamin Franklin Medal, among many other honors. Former President of the Royal Society and the Royal Society of Edinburgh, Atiyah was most recently an Honorary Professor in the School of Mathematics at the University of Edinburgh.

Atiyah joined the Institute as a Member in 1955 with subsequent terms in 1956, 1959–60, 1967–68, 1975, and 1987. He was a Professor in the School of Mathematics from 1969–72. His other positions include Savilian Professor of Geometry at the University of Oxford, Master of Trinity College at the University of Cambridge, founding Director of the Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, and Chancellor of the University of Leicester.

“Sir Michael Atiyah was a dear mentor, friend, and role model, unmatched in intellect and energy,” said Robbert Dijkgraaf, Institute Director and Leon Levy Professor. “His legacy in mathematics and physics will last forever. His passing is a terrible loss, and we extend our deepest condolences to his family. He will be greatly missed by friends and colleagues around the world. In celebration of his spirit, we share Michael’s poem ‘Dreams’.”

In the broad light of day mathematicians check their equations and their proofs,
leaving no stone unturned in their search for rigour. But, at night, under the full moon,
they dream, they float among the stars and wonder at the mystery of the heavens: they are inspired. Without dreams there is no art, no mathematics, no life.

Poderia a Matemática resolver o problema das fake news eleitorais?

Ana Paula Chaves — Tue, 13 Nov 2018 22:06:02 -0200

Com as eleições legislativas nos EUA, rumores de uma eleição geral no Reino Unido no inverno e um possível segundo referendo sobre o Brexit, matemáticos da Universidade de Surrey e AXA Suíça produziram um modelo matemático que detalha o impacto das fake news sobre comportamento de voto.

Em um artigo publicado no arXiv, o Prof. Dorje Brody e o Dr. David Meier deram uma definição matemática para as fake news, que eles esperam dar aos parlamentares a clareza necessária para combatê-la. Os pesquisadores também introduziram um modelo que pode ser usado para conduzir análises abrangentes de cenários e estudos de impacto.

Brody e Meier apresentam abordagens para modelar e categorizar diferentes tipos de eleitores com base em como lidam com as fake news. Talvez o resultado mais surpreendente seja que um grau de consciência e sofisticação é suficiente para mitigar o impacto de fake news, mesmo que as pessoas não possam dizer exatamente quais notícias são falsas.

A disseminação de desinformação deliberada (fake news) pode ser melhor compreendida no contexto da teoria da comunicação. Brody e Meier perceberam que elas podem ser modeladas na forma de ruído tendencioso - em contraste com o ruído nos canais de comunicação convencionais, que é imparcial. Com seu modelo, agora é possível fazer perguntas quantitativas como: Qual é a probabilidade de mudança no resultado da eleição se as fake news forem divulgadas com certa frequência?

Dorje Brody, professor de matemática na Universidade de Surrey, disse: "Estamos vivendo um tempo sem precedentes onde a desinformação, alimentada por sua velocidade de disseminação na internet, está se tornando um perigo real para os processos democráticos. Nossos modelos podem guiar o caminho para o planejamento estratégico para combater os impactos de notícias falsas. Mas lembre-se, o modelo também permite que aqueles que desejam disseminar a desinformação otimizem suas estratégias, algo que eles não poderiam ter feito anteriormente sem isso.

"Nossos legisladores terão que agir rapidamente para tratar dessa questão, mas infelizmente aqueles que desejam atacar a democracia tendem a ser mais motivados do que aqueles que desejam defendê-la. Dito isto, o quadro para a realização de um estudo aprofundado do mecanismo de notícias falsas está agora disponível, e estou otimista de que, seguindo essa linha de pesquisa, podemos manter a vantagem se o governo puder ser convencido a se envolver em pesquisas desse tipo."

O Dr. David Meier da AXA Suíça disse: "A eficiência geral com a qual se poderia, em princípio, mitigar o impacto de notícias falsas, descoberto em nosso trabalho, foi uma surpresa para nós. A sofisticação necessária para isso provavelmente vai além do que o O público em geral é capaz de lidar, e isso tem implicações para a formulação de políticas.No nível mais geral, nosso trabalho também destaca a importância da modelagem matemática para as faces da nossa sociedade.