Problema da soma de três cubos resolvido para o "teimoso" número 33

Os matemáticos sempre se perguntaram se é possível expressar o número 33 como a soma de três cubos - ou seja, se a equação 33 = x³ + y³ + z³ tem uma solução. Eles sabiam que 29 poderia ser escrito como 3³ + 1³ + 1³, por exemplo, enquanto 32 não pode ser escrito como a soma de três inteiros cada um elevado à terceira potência. Mas o caso 33 ficou sem solução por 64 anos.

Agora, Andrew Booker, um matemático da Universidade de Bristol, finalmente resolveu: Ele descobriu que (8.866.128.975.287.528) ³ + (–8.778.405.442.862.239) ³ + (–2.736.111.468.807.040) ³ = 33.

Booker encontrou este estranho trio de inteiros de 16 dígitos, inventando um novo algoritmo de busca para separá-los de quatrilhões de possibilidades. O algoritmo foi executado em um supercomputador da universidade por três semanas seguidas. (Ele diz que acha que levaria seis meses, mas uma solução "apareceu antes que eu esperasse".) Quando a notícia de sua solução chegou à Internet no início deste mês, os teóricos dos números e os entusiastas da matemática estavam cheios de entusiasmo. De acordo com um vídeo Numberphile sobre a descoberta, o próprio Booker literalmente pulou de alegria em seu escritório quando descobriu.

Por que essa alegria? Parte disso é a simples dificuldade de encontrar tal solução. Desde 1955, os matemáticos usaram os computadores mais poderosos que podem obter para pesquisar a reta numérica por trios de inteiros que satisfazem a equação “soma de três cubos” k = x³ + y³ + z³, onde k é um número inteiro. Às vezes as soluções são fáceis, como acontece com k = 29; outras vezes, sabe-se que uma solução não existe, como acontece com todos os números inteiros que deixam para trás um resto de 4 ou 5 quando dividido por 9, como o número 32.

Mas, geralmente, as soluções são “não triviais”. Nesses casos, o trio de inteiros em cubos - como (114.844.365) ³ + (110.902.301) ³ + (–142.254.840) ³, que equivale a 26 - parece mais um bilhete de loteria do que qualquer coisa previsível. estrutura. Por ora, a única maneira de os teóricos de números descobrirem essas soluções é jogar a “loteria” matemática repetidas vezes, usando a força bruta da pesquisa assistida por computador para experimentar diferentes combinações de inteiros em cubos e esperar por uma “vitória”.

Mas mesmo com computadores cada vez mais poderosos e algoritmos mais eficientes lançados contra o problema, alguns números inteiros recusaram-se obstinadamente a obter ingressos vencedores. E 33 foi um caso especialmente teimoso: até que Booker encontrou sua solução, era um dos dois inteiros restantes abaixo de 100 (excluindo aqueles para os quais as soluções definitivamente não existem) que ainda não podiam ser expressos como uma soma de três cubos. . Com 33 fora do caminho, o único remanescente é 42.

A razão pela qual demorou tanto tempo para encontrar uma solução para 33 é que pesquisar o suficiente até a linha numérica - até 1016, ou dez quadrilhões, e até os inteiros negativos - para o trio numérico correto era computacionalmente impraticável, até que Booker inventou seu algoritmo. "Ele não apenas executou essa coisa em um computador maior em comparação com os computadores de 10 anos atrás - ele encontrou uma maneira genuinamente mais eficiente de localizar as soluções", disse Tim Browning, um teórico de números do Instituto de Ciência e Tecnologia da Áustria.

Algoritmos anteriores "não sabiam o que estavam procurando", explicou Booker; eles poderiam pesquisar eficientemente um dado intervalo de inteiros para soluções para k = x³ + y³ + z³ para qualquer número inteiro k, mas eles não eram capazes de mirar em um específico, como k = 33. O algoritmo de Booker poderia, e assim funciona “Talvez 20 vezes mais rápido, em termos práticos”, ele disse, do que algoritmos que adotam uma abordagem não direcionada.

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