Por que a prova do último teorema de Fermat não precisa ser aprimorada

Em 23 de junho do ano passado, marcou o 25º aniversário do eletrizante anúncio de Andrew Wiles que ele havia provado o Último Teorema de Fermat, resolvendo um problema de 350 anos, o mais famoso em matemática. A tradição em torno da prova de Wiles - os sete anos em que ele trabalhou sobre o problema em segredo, a lacuna na prova que apareceu poucos meses depois do anúncio de junho, a elegante solução um ano depois em um artigo em conjunto escrito por Wiles com seu ex-aluno Richard Taylor e sua cavalaria em 2000 - entrou nos anais da lenda matemática.

Após o avanço de Wiles, tornou-se comum ouvir falar de uma nova "idade de ouro" da matemática, especialmente na Teoria dos Números, o campo ao qual o problema de Fermat pertence. Os métodos introduzidos por Wiles e Taylor são agora parte do conjunto de ferramentas dos teóricos dos números, que consideram a história do UTF encerrada. Mas os teóricos dos números não foram os únicos extasiados por essa história.

Lembrei-me disso inesperadamente em 2017, quando, no espaço de poucos dias, dois lógicos, falando em dois continentes, aludiram a formas de reforçar a prova do UTF - e relataram como alguns dos seus colegas ficaram surpreendidos com o facto de os teóricos dos números não terem mostrado interesse em suas idéias.

Os lógicos falavam as línguas de suas respectivas especialidades - teoria dos conjuntos e ciência da computação teórica - na expressão dessas idéias. As sugestões que eles fizeram foram intrinsecamente válidas e podem algum dia dar origem a novas perguntas não menos interessantes que as de Fermat. No entanto, ficou imediatamente claro para mim que essas questões são em grande parte irrelevantes para os teóricos dos números, e qualquer sugestão de que possa ser de outra forma reflete uma profunda incompreensão da natureza da prova de Wiles e dos objetivos da teoria dos números como um todo.

As raízes desse equívoco podem ser encontradas na simplicidade da declaração do UTF, que é responsável por grande parte do seu apelo: Se n é um número inteiro positivo maior que 2, então é impossível encontrar três números positivos a, b e c tais que aⁿ + bⁿ = cⁿ 

Isso contrasta nitidamente com o que acontece quando n é igual a 2: todos que estudaram geometria euclidiana lembrarão que 3² + 4² = 5², que 5² + 12² = 13² e assim por diante (a lista é infinita). Nos últimos séculos, os matemáticos repetidamente tentaram explicar esse contraste, fracassando a cada vez, mas deixando ramos inteiros da matemática em seu rastro. Esses ramos incluem grandes áreas da Teoria dos Números moderna que Wiles utilizou para sua solução bem-sucedida, bem como muitas das ideias fundamentais em todas as partes da ciência tocadas pela matemática. No entanto, ninguém antes de Wiles conseguiu fundamentar a reivindicação original de Fermat.

O cientista da computação tinha estado recentemente animado para aprender sobre o progresso na verificação automatizada de provas, uma tentativa ambiciosa de implementar a abordagem formalista da matemática na prática. Para os formalistas, uma prova matemática é uma lista de declarações que atendem a requisitos estritos:

1. As declarações no topo da lista devem envolver apenas noções que são universalmente aceitas. Na interpretação mais estrita, estes são limitados aos axiomas da teoria formal dos conjuntos, tipicamente o sistema formal conhecido como ZFC - abreviação de “Zermelo-Fraenkel, mais escolha”. Isto é totalmente impraticável, então também podemos incluir teoremas que têm já foi provado - por exemplo, UTF para n = 4, que o próprio Fermat já provou no século XVII.
2. Cada declaração deve ser obtida aplicando as regras de dedução lógica às declarações precedentes.
3. Finalmente, o teorema comprovado deve aparecer como a última declaração da lista.

A lógica matemática foi desenvolvida com a esperança de colocar a matemática em alicerces firmes - como um sistema axiomático, livre de contradições, que poderia impedir que o raciocínio caísse em incoerência. Embora o trabalho de Kurt Gödel tenha revelado que essa esperança é quimérica, muitos filósofos da matemática, bem como alguns lógicos (uma minoria pequena, mas vocal), ainda consideram o ZFC e os requisitos listados acima como um tipo de constituição para a matemática. 

Leia a matéria na íntegra no link: https://www.quantamagazine.org/why-the-proof-of-fermats-last-theorem-doesnt-need-to-be-enhanced-20190603/