Números p-ádicos: Um universo de infinitos sistemas de números
No coração da Teoria dos Números da atualidade, os números p-ádicos nos proporcionam uma coletânea de infinitos sistemas de números, baseados em primos. Neste artigo, com tradução livre a partir de matéria na Quanta Magazine, referenciada ao final do texto, o leitor irá encontrar uma introdução bastante intuitiva à esses "tipos" de números.
Os números racionais são os números mais "familiares": 1, -5, ½ e todos os outros valores que podem ser escritos como uma proporção de números inteiros positivos ou negativos. Mas ainda pode ser difícil trabalhar com eles.
O problema é que eles contêm "buracos". Se você aumentar o zoom em uma sequência de números racionais, poderá se aproximar de um número que em si não é racional. Isso causa um "curto-circuito" em muitas ferramentas matemáticas básicas, como a maioria do cálculo. Os matemáticos geralmente resolvem esse problema organizando os racionais em uma linha e preenchendo as lacunas com números irracionais para criar um sistema numérico completo que chamamos de números reais.
Mas existem outras maneiras de organizar os racionais e preencher as lacunas: os números p-ádicos. Eles são uma coleção infinita de sistemas numéricos alternativos, cada um associado a um número primo único: os 2-ádicos, 3-ádicos, 5-ádicos e assim por diante. Os p-ádicos podem parecer bastante "estranhos". Nos 3-ádicos, por exemplo, o número 82 está muito mais próximo de 1 do que de 81. Mas a estranheza é amplamente superficial: em um nível estrutural, os p-ádicos seguem todas as regras que os matemáticos desejam em um sistema numérico bem comportado.
Desenvolvidos há mais de um século, os números p-ádicos tornaram-se um ambiente essencial para investigar questões sobre números racionais que datam de milênios.
Leia a matéria completa da Quanta em inglês em: https://www.quantamagazine.org/how-the-towering-p-adic-numbers-work-20201019/
Fonte: Quanta Magazine
Categorias: p-ádicos Number Theory